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[他山之石]用数位表平息“0和1”之争  

2010-05-31 11:07:23|  分类: 他山之石 |  标签: |举报 |字号 订阅

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[他山之石]用数位表平息“零一”之争

讲述教研员自己的故事

n             文章来源:《教育科学论坛》

张宏书

背景

“最小的一位数是几?”过去是小学低级学生都可解决的数学问题。但现行小学数学教材把0归属于自然数后,此问题却在数学界引起了一场“01”之争。学者出面解读:“一般情况下0不作一位数,最小的一位数不宜取0”。可听者总感觉“专家的态度欠鲜明,理由欠充足”,它不但没消除一线教师和广大家长的思想顾虑,反而对结论产生了怀疑。仅2006年秋季,身为教研员的笔者就接到了116个(我县有中心小学86所)有关此问题的咨询电话。2007年春季的期末考试又要来了,如果不给此问题一个科学的说法,实在是不便于教师教,也不便于学生学。在这种背景下,我们不得不对此问题作深层次的探讨,我县于20074月中旬召开了一次别开生面的教研专题座谈会,专门商讨最小的一位数究竟是1,还是0的问题,取得了较好的效果。

争论

座谈会上,我按两种不同观点,把赞同1的取名为“1”方,把赞同0的取名为“0”方,将与会者分成左右两组就坐,我坐中央,然后展开轮流发言或反驳。

1”方:因为0在计数中只有占位的作用,一个数的最高位不能是0,所以最小的一位数是1

0”方:因为在自然数中01小,如果0不是一位数,请问“1”方,0是几位数?难道0是两位数、三位数吗?所以最小的一位数是0

1”方:如果最小的一位数是0,那么最小的两位数就是00,最小的三位数就是000……

0”方:00000……从大小上看都是0,所以它仍然是最小的一位数。00000的写法是不科学的,这种情况我们在计数时也都只计作0,请问“1”方,就算最小的一位数是1,难道最小的两位数、三位数就是11111吗?显然不是?因此,你们的推理是不科学的。

1”方:最小的一位数是1,这是一种规定,一种约定俗成,一种思维定势。

0”方:最小的一位数是0,这是一种改革,一种创新,一种数学发展。

1”方:人民教育出版社丁国忠指出:一般情况下,不说0是一位数,最小的一位数应是1。重庆教科院李光树指出:在记数中0只起占位作用,但不能占这个数的最高位,我个人认为最小的一位数不宜是0,最小的一位数还有待进一步研究,暂不要在学生面前提及。

0”方:“一般情况下”、“不宜”“有待研究”“暂不提及”,这些都是些“柔性”词,这说明专家是在回避,请问什么时候才“研究”,什么时候才能肯定,什么时候回答学生的问题?今天我们不正是坐下来研究解决吗?我们不能再等待了!

……

和解

教师在座谈时,我认真听取,归纳,然后思考用一个什么方法来说服这一群爱思考爱争论的教师。我觉得问题的根本不在大小,而在数位,把两个条件兼备,把解决问题的目的定位在后继学习的需要上。于是想到了计数时的数位顺序表(简称数位表,下同),以数位表为载体,以后继学习和研究为目标,为自己的观点寻求佐证,定夺最小的一位数,和解这场为时已久的“零一”之争。下面是笔者作的总结性发言:

老师们,01,都各有“最小”的特性,你们刚才辩论时都抓住了这一特征,建见很独特,但大家忽略了第二个条件“一位数”。要确定谁是最小的一位数,我认为上面你们谈到的理由都不是主要的,主要应看谁哪种决定对学生今后学习和研究数学更有利。下面我就借“数位表”,向大家回答“谁是最小的一位数”的问题。

1.从排列规律看,最小的一位数应是1

最小的一位数是几?如果定夺不了时,可以借助数位表,先研究最小的两位数、三位数、四位数的特征,寻找其规律所在,如表一:

 

 

从表中看,从大到小,最小的四位数、三位数、两位数依次为100010010,照这种规律排下去,它们一个比一个缩小10倍,构成的是一个等比数列,公比为10,可用公式10nn为自然数)表示出来,当n1时,10n就是一个最小的两位数,当n0时,就是最小的一位数,因为100等于1,所以最小的一位数是1。如果最小的一位数是0,它无法用10n表示,最小的a位数就成了一个特列,这不便于对数学的进一步学习和研究。

2、从记数规律看,最小的一位数也应是1

最小的“一位数”,是从记数法中相对于“数位表”产生的数位概念和数(shǔ)数概念。根据数位表,我们还是先跳过最小的一位数,去研究最小的四位数、三位数、两位数,十分位、百分位、千分位数。如表二:

 

从表二看,表中“个位”除外的所有数,都可用10zz表示所有整数),每个数都是同最高位取1个计数单位生成的。比如,最小的三位数就是在百位取1个百得100,最小的两位数就是在十位取1个十得10;最小的一位小数就在十分位取1个十分之一得0.1,最小的两位小数就在百分位取1个百分之一,即0.01。按数位顺序表研究得出的结论,仍然满足前面的1中谈到的排列规律。当z为小于0的整数-1-2…时,可得到所有最小的无数位数。因此,研究一个数的位数时,位数的分界点不是数轴上的原点“0”,而是数位表中个位与十分位之间的小数点“·”因此,最小的一位数为1,不但与数学上的数位表相符,也便于以后的进一步学习和研究。

3、从极值规律看,最小的一位数是也应是1

0是一个数,是一个自然数,并且它比1小,这是千真万确的事实。在数位表中,如果1是最小的一位数,那么请问0是最小的几位数?这是很多教师担心的一个数学问题。我们仍然要用上面的数位序表,继续分析下去,就可解决这个问题。0确实是一个数,并且它在数位顺序表中也有一席之地,但它不是最小的一位数,而是最小的∞(无限多)位小数。因为,在10z中,z-100000000时,10z的值就为0.00000001,它是一个最小的八位小数。当z值取无限大时,10z就是一个为0.00……1的无数位小数的数,这个数的极值就是0。所以,0是一个数,只是一个最小的无数位小数。因此,最小的一位数仍然是1

4、从大小规律看,最小的一位数也是1

从正整数的大小比较来看,位数越多,数就越大,三位数大于两位数,两位数大于一位数,个位上的数大于十分位上的数,十分位上的数大于百分位上的数,依次类推。如果最小的一位数是0,则容易得出0大于个位左边的所有数错误结论,比如,0>0.1,这是数学上不许可的。因此,最小的一位数是1,有利于比较数的大小。

5、从数(shǔ)数规律看,最小的一位数也是1

0只是计数的起点,不是最小的一位数。因为我们在数(shǔ)数时,是没有计算起点0的,而是从1开始递增。比如,我们用学具计数器来数数:在没有计数时,上面显示的是若干个0(如计数器一,以算盘为例),当然也可以看着一个0,但是一旦计数开始,根据实际情况,计数的过程就会出现一个一个地计“012…”、或一十一十地计“01020…”,或十分之一十分之一地计“0.00.1,0.2…”等,如果都有把起点看作最小的一位数,那么0000.0就分别是最小的一位数、两位数、一位小数,容易得出“最小的任何几位数都是0”的结论,这与座谈会的“1”方老师们谈到的观点不谋而合,这样的结论显然是不科学的。所以,最小的一位数应是1。我们再用电子计数器来计数:也会出现学具计数器同样的效果(如计数器二,以电子秆为例)。比如用电子秆称某一物体质量时,电子计数器上初始值都是0000.000千克,一旦在上面放置了实特,显示屏上都会从1100.1开始往上递增,直到称出实物的实际质量。看得出不管计量的结果是一个几位数,它都是以0为起点,从1个计数单位(0.1110100)开始计数。也就是说,比0大的数,并不是1,根据实际情况,有可能是0.01, 甚至0.0001。因此,最小的一位数,应是个位动态计数开始的那一刻的1,而不是静态的无任何计数意义的0

 

  万千百十        

计数器一                   计数器二

 

7、从集合规律看,最小的一位数也是1

在数位顺序表中,最高位不能是0,只能是1,其它各位可以是1,也可以是0,这是一个写数的硬道理。一位数,个位既是它的最高位,又是它的最低位。从最高位非0原理来考察,数字集是129,从最低随意原理来考察,数字集是0129,要同时满足最高位又是最低位的两个条件,一位数的元素必为他们的交集129,因此,最小的一位数是1,这才符合数位顺序表的写数规律。

8、从研究规律看,最小的一位数也是1

网上有人提出最小的一位数是-9。我们研究了正数的规律,负数的大小就直接比较绝对值,因此没必要扩充到负数领域去,如果认定了最小的一位数是-9,那最小的两位数呢?显然,这类教师是在给数学捣乱,把学生教糊涂。网上也有人提出应加个条件“在正整数范围内最小的一位数是1”,规定了数的范围,再找最小的数,就等于是在比较数的大小,这样的研究有意义吗?这样的解决方案不但思维质量低,而且仍然没平息“零一”之争。我们要思考的是,为什么最小的一位数要在正整数范围内研究。

基于以上八条理由,从数学学习和研究出发,0作最小的一位数有太多的缺陷,所以我敢肯定地说,最小的一位数是1,希望大家也能心平气和地接受这一事实。

平息

笔者追问:为什么在师生及家长间出现了01之争?

与会教师:过去0不是自然数时,谁也不会给“最小的一位数是1”这句话打叉。原因是正整数部分数位顺序表上的数刚好与自然数一一对应,人们也就认定:自然数就是数位表上研究的数,一提到自然数,他们就想到了数的数位和位数,无形中把数的位数与自然数等同起来。现行课本增加了自然数0后,01小,因此就认为最小的一位数是0,但总觉得是0也不科学,在01之中,苦于找不出有说服力的证据来反对或支持,所以就拿不定主意。

笔者解答:很多认为最小的一位数是0的人,我想可能是把最小的“一位数”与最小的“一个数”、最小的“自然数”、最小的“十进制数字”相混杂了。实质上,它们在概念是有本质区别的。比如数位表中可表示出小数,而自然数里是没小数的。从数轴上看(图略),0是一个特殊的数,它作为无数位小数的最小数(极值原理),实质是数位研究的一个分界线,一个大于0的数,都可以在数位表中找到它的位数,一个小于0的数,也可以用数位表研究它的位数。从极值意义上讲,0既是最小的一位正数,也是最大的一位负数,显然是一个矛盾数,所以规定,0不进入数位讨论之列。这也就回答了为什么最小的一位数为什么在正数中研究的道理。

与会教师:今天这个教研专题座谈会开得很有意义,张老师的一席话,让我们不但明白了最小的一位数是1,而且明白了为什么是1。长达6年来(2001年)一直捆惑着我们的零一之争,总算平息了。

 (张宏书,重庆市江北区鲤鱼池小学,400020)

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