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稻香家园

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【引用】田奇述老师“数学广角——植树问题”教学赏析  

2011-12-26 08:54:38|  分类: 田言觅语 |  标签: |举报 |字号 订阅

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“植树问题”是经典的奥数内容,具有很高的数学思维含金量和很强的探究空间,人教版义务课程标准实验教材把它编在四年级下册的“数学广角”里,那么,如何进行教学才能体现教材的编写意图呢?我县教研室田奇述副主任执教此课后结合讲座指出:要有效引领仍以形象思维为主,但抽象逻辑思维能力也有了初步的发展,具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的数学活动经验的四年级学生经历自主探究,把数学思想“植”进学生的头脑。真是一语中的,使我茅塞顿开。下面是他这节课的教学实录片段并作赏析,与大家共享。

一、在化繁为简中让学生挺起化归思想的脊梁。

[片段1]

课件出示题目:同学们在全长100米的小路一边植树,每间隔5米栽一棵(两端要栽)。一共需要多少棵树苗?

1、巧用手掌,理解“间隔”。

师:读完题后,你认为那些词语要引起我们注意?

生:间隔、两端要栽,这些词语要引起我们注意。

师:你们理解“间隔、两端要栽”这些词语的意思吗?举起你们的左手,张开五指,看一看手指之间出现了什么?

生:5个手指之间出现了4个空隙。

师:这4个空隙,就是4个间隔,好似植树中,每相邻两棵树之间的距离,也就是间隔;4个间隔的头尾都有手指,犹如植树中两端都“栽”。两端都栽是植树中根据具体情况出现的情形之一,还可能出现哪些情况?

1:可能出现一端栽一端不栽。

2;还可能出现两端都不栽。

2、理解题意,寻找方法。

师:你认为那些条件和问题里的数或词要引起我们注意?

生:“全长、100米、一旁、每、5米、一共”等数或词要引起我们注意。

师:可以用什么办法知道一共需要多少棵树苗?

生:5米栽一棵,5米栽一棵,一直数到100米,就可以知道一共需要多少棵树苗?

师:(课件演示,两端都栽)先在开头栽一棵,然后,每间隔5米栽一棵,就是——

生:第5米的地方栽第2棵,第10的地方栽第3棵,第15的地方栽第4棵,第20的地方栽第5棵……

师:照这样一棵、一棵数下去的办法求植树问题,你们有什么看法?

生:太浪费时间,要找到简捷的方法。

师:全长、间隔与棵数之间有什么关系?你们能找到什么简捷的方法?

1:我打算选择小一点的数,用学具代表树苗插一插,看看全长、间隔与棵数之间有怎样关系。

2:我打算选择小一点的数,用画线段图的方法,看看全长、间隔与棵数之间有怎样关系。

……

师:选择小一点的数据来操作,把复杂问题转化为简单问题来研究,是一种非常有效的重要研究方法。

[赏析]恩格斯说过:“由一种形式转化为另一种形式,不是无聊的游戏,而是数学的杆杠;如果没有它,就不能走很远。”化归是把有待解决的问题,通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去,以求得解决。它是基本而典型的数学思想,常用的办法有:化难为易、化繁为简、化曲为直、化陌生为熟悉、化未知为已知等。田老师借学生熟悉的手掌认识“间隔”,转化了学生因对“间隔”词语的陌生而引发的思维障碍;进而在用数的方法时,让学生感受到“植树问题”原题的数据比较大,产生“化繁为简”的需要,使学生对“转化”策略有了深刻的体验。

二、在探寻规律中让学生挺起数形结合思想的脊梁。

[片段2]

师:选什么数据比较合适呢?用你们喜欢的方法试一试。

学生汇报出现如下情况:

1:我选全长10米,每间隔5米栽一棵,如果两端要栽,用数的办法可以看出有2个间隔,要栽3棵树。发现:植树的棵数比间隔数多1

2:我到操场量出全长15米,每间隔5米插一把小红旗,如果两端要栽,可以看出有3个间隔,要栽4棵树。也发现:植树的棵数比间隔数多1

4:(出示线段图后解释)我在一张大纸上画一条20厘米的线段代表全长20米,每间隔5厘米画一棵树代表5米栽一棵,如果两端要栽,可以看出有4个间隔,要栽5棵树。也发现:植树的棵数比间隔数多1

5:(出示线段图后解释)我在纸上随便画一条线段表示小路一边的全长,在线段上随意截取一小段画上一个点表示每间隔5米栽一棵,如果两端要栽,可以看出:5米时是1个间隔,栽2棵树;10米时是2个间隔,栽3棵树;15米时是3个间隔,栽4棵树;20米时是4个间隔,栽5棵树;……100米时是20个间隔,栽21棵树。我不仅发现:植树的棵数比间隔数多1,而且直接求出答案21棵。

[赏析]数学家华罗庚认为:“数无形,少直观;形无数,难入微”,数形结合就是借助形象的图形来解题,使抽象的数学问题直观化、生动化。它不仅可以激发学生学习兴趣,而且能而加深学生对解题思路的理解,发展学生的思维能力。田老师让学生用自己喜欢的方法试一试解决植树问题的过程,产生比实际数和量更为简便的画线段图的方法,其中,生4的按比例画线段图,去除具体物的属性,只是初步具有图式意思;而5随便画一条线段表示小路一边的全长,在线段上随意截取一小段画上一个点表示每间隔的方法,则完全去除具体物的属性,只保留数量之间的关系,表现出较高的图式化水平,实现了从具体“事物”到半抽象“图形”转化。

三、在经历过程中让学生挺起建模思想的脊梁。

[片段3]

师:刚才我们通过画线段图直观地表示了全长、间隔与棵数关系,可一条线段画了20个间隔、21点,还是太麻烦了,能有比画图更简单的方法吗?

生:可以总结出规律。我画线段图后,数的时候发现:总是一棵树,一个间隔;一棵树,一个间隔……一一对应的数到最后多了一棵。所以我认为:如果两端要栽,植树的棵数比间隔数多1

师:这个规律是不是正确的,你们想用什么办法进行验证呢?

学生合作学习后,汇报时除了画线段图方法外,还出现如下情况:

1:出示下表

全长

间隔数

棵数规律

10

 

5

 

2

3

 

间隔数+1

 

 

15

3

4

20

4

5

25

5

6

我们组通过间隔长度不变,变化全长的长度,研究后发现:植树的棵数=间隔数+1,这个规律成立。

2:出示下表

间隔数

棵数规律

 

20

 

2

10

11

 

间隔数+1

 

 

4

5

6

5

4

5

10

2

3

我们组与他们不同的是,采用全长不变,变化间隔长度,研究后发现:植树的棵数=间隔数+1,这个规律成立。

生:我总结的规律就是:如果间隔数是n个,植树的棵数就是:(n+1)颗。

师:(边板书边说)植树的棵数(两端都栽)=间隔数+1,现在你们能用列式计算例题1吗?

学生做在本子上,两个学生站板,教师进行了讲评。

师:有棵数不等于间隔数+1的例子吗?

生:如果一端栽一端不栽或两端都不栽,就与两端都栽棵数=间隔数+1不同了。

师:如果一端栽一端不栽或两端都不栽的情况植树的棵数有什么规律呢?与两端都栽有什么区别?

学生合作学习后,教师结合学生汇报板书如下:

两端都栽(线段图略):植树的棵数=间隔数+1。。

一端栽一端(线段图略):植树的棵数=间隔数。

两端都不栽(线段图略):植树的棵数=间隔数1

接着教师要求学生应用这些规律做练习,内容有锯木头、安装路灯等。

[赏析]荷兰数学家弗赖登塔尔认为,学生学数学就是经历数学化过程,就是把数学研究对象的某些特征进行抽象,用数学语言、图形或模式表达出来,建立数学模型。田老师首先着力于植树问题的“两端都栽”这种最基本的情况,通过数、量、画线段图等多种方法,帮助学生建立植树问题表象,将文字信息和学生思维耦合,促进学生从形象思维向抽象思维过度,并通过渗透一一对应数学思想揭示了“植树棵数为什么恰恰比间隔数多1”这个规律;接着,让学生通过枚举“间隔长度不变,变化全长的长度”和“全长不变,变化间隔长度”的列表,完善了不完全归纳探究,构建植树问题“两端都栽”这中最基本的数学模型。在此基础上根据植树问题三种情况特征间的内在逻辑联系,在对比中推出植树问题的另外两种情况的特征。之后在练习中引导学生巩固、扩展这一模型的应用,沟通了锯木头问题、安装路灯问题、钟声问题等的联系,促进模型的内化。

(福建尤溪县西城中心小学    蔡芬)

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